3.798 \(\int \frac{1}{(a+b \sin (e+f x))^{5/2} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=516 \[ \frac{2 b^2 \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{3 f \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) (a+b \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{2 \left (-3 a^2 d+3 a b (c-d)+b^2 (c+2 d)\right ) \sec (e+f x) (c+d \sin (e+f x)) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right )}{3 f (a-b)^2 \sqrt{a+b} \sqrt{c+d} (b c-a d)^2}+\frac{4 b (c-d) \sqrt{c+d} \left (-3 a^2 d+2 a b c+b^2 d\right ) \sec (e+f x) (a+b \sin (e+f x)) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right )}{3 f (a-b)^2 (a+b)^{3/2} (b c-a d)^3} \]

[Out]

(4*b*(c - d)*Sqrt[c + d]*(2*a*b*c - 3*a^2*d + b^2*d)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(
Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*
(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin
[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(3*(a - b)^2*(a + b)^(3/2)*(b*c - a*d)^3*f) + (2*b^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c +
d*Sin[e + f*x]])/(3*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(3*a*b*(c - d) - 3*a^2*d + b^2*
(c + 2*d))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((
a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e +
f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*(a -
b)^2*Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)^2*f)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.993577, antiderivative size = 516, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 4, number of rules used = 4, integrand size = 29, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.138, Rules used = {2802, 2998, 2818, 2996} \[ \frac{2 b^2 \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{3 f \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) (a+b \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{2 \left (-3 a^2 d+3 a b (c-d)+b^2 (c+2 d)\right ) \sec (e+f x) (c+d \sin (e+f x)) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right )}{3 f (a-b)^2 \sqrt{a+b} \sqrt{c+d} (b c-a d)^2}+\frac{4 b (c-d) \sqrt{c+d} \left (-3 a^2 d+2 a b c+b^2 d\right ) \sec (e+f x) (a+b \sin (e+f x)) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right )}{3 f (a-b)^2 (a+b)^{3/2} (b c-a d)^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[1/((a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]),x]

[Out]

(4*b*(c - d)*Sqrt[c + d]*(2*a*b*c - 3*a^2*d + b^2*d)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(
Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*
(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin
[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(3*(a - b)^2*(a + b)^(3/2)*(b*c - a*d)^3*f) + (2*b^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c +
d*Sin[e + f*x]])/(3*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(3*a*b*(c - d) - 3*a^2*d + b^2*
(c + 2*d))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((
a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e +
f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*(a -
b)^2*Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)^2*f)

Rule 2802

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -S
imp[(b^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1))/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 -
b^2)), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n
*Simp[a*(b*c - a*d)*(m + 1) + b^2*d*(m + n + 2) - (b^2*c + b*(b*c - a*d)*(m + 1))*Sin[e + f*x] - b^2*d*(m + n
+ 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &
& NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -1] && IntegersQ[2*m, 2*n] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !
(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 2998

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[(A - B)/(a - b), Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e
+ f*x]]), x], x] - Dist[(A*b - a*B)/(a - b), Int[(1 + Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin
[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2
- d^2, 0] && NeQ[A, B]

Rule 2818

Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Si
mp[(2*(c + d*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c
- a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*EllipticF[ArcSin[Rt[(c + d)/(a + b), 2]*(Sqrt[a +
b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))])/(f*(b*c - a*d)*Rt[(c + d)/(a
+ b), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c
^2 - d^2, 0] && PosQ[(c + d)/(a + b)]

Rule 2996

Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin
[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(-2*A*(c - d)*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*
x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*
EllipticE[ArcSin[(Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d)
)/((a + b)*(c - d))])/(f*(b*c - a*d)^2*Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A,
B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ[A, B] && PosQ[(a + b)/(c + d)]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{1}{(a+b \sin (e+f x))^{5/2} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx &=\frac{2 b^2 \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{2 \int \frac{\frac{1}{2} \left (-2 b^2 d-3 a (b c-a d)\right )+\frac{1}{2} b (b c-3 a d) \sin (e+f x)}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d)}\\ &=\frac{2 b^2 \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{\left (2 b \left (2 a b c-3 a^2 d+b^2 d\right )\right ) \int \frac{1+\sin (e+f x)}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{3 (a-b)^2 (a+b) (b c-a d)}+\frac{\left (3 a b (c-d)-3 a^2 d+b^2 (c+2 d)\right ) \int \frac{1}{\sqrt{a+b \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{3 (a-b)^2 (a+b) (b c-a d)}\\ &=\frac{4 b (c-d) \sqrt{c+d} \left (2 a b c-3 a^2 d+b^2 d\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} (a+b \sin (e+f x))}{3 (a-b)^2 (a+b)^{3/2} (b c-a d)^3 f}+\frac{2 b^2 \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{2 \left (3 a b (c-d)-3 a^2 d+b^2 (c+2 d)\right ) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{3 (a-b)^2 \sqrt{a+b} \sqrt{c+d} (b c-a d)^2 f}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.43239, size = 2072, normalized size = 4.02 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[1/((a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]),x]

[Out]

(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]*((-2*b^2*Cos[e + f*x])/(3*(a^2 - b^2)*(-(b*c) + a*d)*(a + b
*Sin[e + f*x])^2) + (4*(2*a*b^3*c*Cos[e + f*x] - 3*a^2*b^2*d*Cos[e + f*x] + b^4*d*Cos[e + f*x]))/(3*(a^2 - b^2
)^2*(-(b*c) + a*d)^2*(a + b*Sin[e + f*x]))))/f + ((-4*(-(b*c) + a*d)*(3*a^2*b^2*c^2 + b^4*c^2 - 6*a^3*b*c*d +
2*a*b^3*c*d + 3*a^4*d^2 - 5*a^2*b^2*d^2 + 2*b^4*d^2)*Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*Ellip
ticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(
b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2
]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(
b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - 4*(-(b*c) + a*d)*(4*a*b^3
*c^2 - 2*a^2*b^2*c*d + 2*b^4*c*d - 6*a^3*b*d^2 + 2*a*b^3*d^2)*((Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c
+ d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[
2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi
/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e +
f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (Sqrt[((c + d)
*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticPi[(-(b*c) + a*d)/((a + b)*d), ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e +
Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[
e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a
*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*d*Sqrt[a + b*
Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])) + 2*(-4*a*b^3*c*d + 6*a^2*b^2*d^2 - 2*b^4*d^2)*((Cos[e + f*x]*Sqrt[c
+ d*Sin[e + f*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (Sqrt[(a - b)/(a + b)]*(a + b)*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]*Elli
pticE[ArcSin[(Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2])/Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]], (2*(-(b*c)
+ a*d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*d*Sqrt[((a + b)*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(a + b*Sin
[e + f*x])]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]*Sqrt[((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))/((
c + d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]) - (2*(-(b*c) + a*d)*((((a + b)*c + a*d)*Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^
2)/(-c + d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))
]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(
-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*
Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((b*c +
a*d)*Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticPi[(-(b*c) + a*d)/((a + b)*d), ArcSin[Sqrt[-
(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a +
b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e +
f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a
+ b)*d*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])))/(b*d)))/(3*(a - b)^2*(a + b)^2*(-(b*c) + a*d)^2*f
)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 4.226, size = 243193, normalized size = 471.3 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(1/(a+b*sin(f*x+e))^(5/2)/(c+d*sin(f*x+e))^(1/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{1}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{5}{2}} \sqrt{d \sin \left (f x + e\right ) + c}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*sin(f*x+e))^(5/2)/(c+d*sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(1/((b*sin(f*x + e) + a)^(5/2)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{\sqrt{b \sin \left (f x + e\right ) + a} \sqrt{d \sin \left (f x + e\right ) + c}}{b^{3} d \cos \left (f x + e\right )^{4} -{\left (3 \, a b^{2} c +{\left (3 \, a^{2} b + 2 \, b^{3}\right )} d\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} +{\left (a^{3} + 3 \, a b^{2}\right )} c +{\left (3 \, a^{2} b + b^{3}\right )} d -{\left ({\left (b^{3} c + 3 \, a b^{2} d\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} -{\left (3 \, a^{2} b + b^{3}\right )} c -{\left (a^{3} + 3 \, a b^{2}\right )} d\right )} \sin \left (f x + e\right )}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*sin(f*x+e))^(5/2)/(c+d*sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(sqrt(b*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)/(b^3*d*cos(f*x + e)^4 - (3*a*b^2*c + (3*a^2*b + 2*b
^3)*d)*cos(f*x + e)^2 + (a^3 + 3*a*b^2)*c + (3*a^2*b + b^3)*d - ((b^3*c + 3*a*b^2*d)*cos(f*x + e)^2 - (3*a^2*b
+ b^3)*c - (a^3 + 3*a*b^2)*d)*sin(f*x + e)), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*sin(f*x+e))**(5/2)/(c+d*sin(f*x+e))**(1/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{1}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{5}{2}} \sqrt{d \sin \left (f x + e\right ) + c}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*sin(f*x+e))^(5/2)/(c+d*sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(1/((b*sin(f*x + e) + a)^(5/2)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)), x)